4x-2y=6;quad9x+11y=-8 megoldása

$$4 x - 2 y = 6 ; \quad 9 x + 11 y = - 8$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=\frac{25}{31}\approx 0,806451613$$

$$y = -\frac{43}{31} = -1\frac{12}{31} \approx -1,387096774$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x-2y=6$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2y.

$$4x=2y+6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{3+y}{2} értéket x helyére a másik, 9x+11y=-8 egyenletben.

$$9\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+11y=-8$$

Összeszorozzuk a következőket: 9 és \frac{3+y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{27}{2}+11y=-8$$

Összeadjuk a következőket: \frac{9y}{2} és 11y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{27}{2}=-8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{27}{2}.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{43}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{31}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=-\frac{43}{31}$$

A(z) x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{43}{31}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{43}{31}\right)+\frac{3}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -\frac{43}{31}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-\frac{43}{62}+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2} és -\frac{43}{62} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{25}{31}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}&\frac{4}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{62}&\frac{1}{31}\\-\frac{9}{62}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{62}\times 6+\frac{1}{31}\left(-8\right)\\-\frac{9}{62}\times 6+\frac{2}{31}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{31}\\-\frac{43}{31}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

4x és 9x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 9, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$9\times 4x+9\left(-2\right)y=9\times 6,4\times 9x+4\times 11y=4\left(-8\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$36x-18y=54,36x+44y=-32$$

36x+44y=-32 kivonása a következőből: 36x-18y=54: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$36x-36x-18y-44y=54+32$$

Összeadjuk a következőket: 36x és -36x. 36x és -36x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-18y-44y=54+32$$

Összeadjuk a következőket: -18y és -44y.

$$-62y=54+32$$

Összeadjuk a következőket: 54 és 32.

$$-62y=86$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -62.

$$y=-\frac{43}{31}$$

A(z) 9x+11y=-8 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{43}{31}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$9x+11\left(-\frac{43}{31}\right)=-8$$

Összeszorozzuk a következőket: 11 és -\frac{43}{31}.

$$9x-\frac{473}{31}=-8$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{473}{31}.

$$9x=\frac{225}{31}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$x=\frac{25}{31}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$