4x-2y=28text{and}x=y+5 megoldása

$$4 x - 2 y = 28 \text { and } x = y + 5$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=9$$

$$y=4$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-y=5$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x-2y=28$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2y.

$$4x=2y+28$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+28\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és 28+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+7$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{y}{2}+7 értéket x helyére a másik, x-y=5 egyenletben.

$$\frac{1}{2}y+7-y=5$$

Összeadjuk a következőket: \frac{y}{2} és -y.

$$-\frac{1}{2}y+7=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: -2.

$$y=4$$

A(z) x=\frac{1}{2}y+7 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 4. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+7$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és 4.

$$x=2+7$$

Összeadjuk a következőket: 7 és 2.

$$x=9$$

A rendszer megoldva.

$$x=9,y=4$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-y=5$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\\frac{1}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 28-5\\\frac{1}{2}\times 28-2\times 5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=9,y=4$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-y=5$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

4x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$4x-2y=28,4x+4\left(-1\right)y=4\times 5$$

Egyszerűsítünk.

$$4x-2y=28,4x-4y=20$$

4x-4y=20 kivonása a következőből: 4x-2y=28: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$4x-4x-2y+4y=28-20$$

Összeadjuk a következőket: 4x és -4x. 4x és -4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-2y+4y=28-20$$

Összeadjuk a következőket: -2y és 4y.

$$2y=28-20$$

Összeadjuk a következőket: 28 és -20.

$$2y=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$y=4$$

A(z) x-y=5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 4. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x-4=5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$x=9$$

A rendszer megoldva.

$$x=9,y=4$$