4x^2-9x-9=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx-9 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -9.

$$a=-12 b=3$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-9x-9) \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

-9 ellentettje 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±15}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 9 és 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

24 elosztása a következővel: 8.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±15}{8}). ± előjele negatív. 15 kivonása a következőből: 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

A törtet (\frac{-6}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

\frac{9}{4} és \frac{81}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{8}.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$