4x^2-8x+12=9 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 8 x + 12 = 9$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9.

$$4x^{2}-8x+12-9=0$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) 12 értéket. Az eredmény 3.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx+3 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-8 ab=4\times 3=12$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-6 b=-2$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-8x+3) \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right)$$

Kiemeljük a(z) 2x tényezőt az első, a(z) -1 tényezőt pedig a második csoportban.

$$2x\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 2x-3=0 és 2x-1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-8x+12=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$4x^{2}-8x+12-9=9-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-8x+12-9=0$$

9 kivonása a következőből: 12.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\times 3}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2\times 4}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±4}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{8±4}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±4}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

A törtet (\frac{12}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±4}{8}). ± előjele negatív. 4 kivonása a következőből: 8.

$$x=\frac{4}{8}$$

A törtet (\frac{4}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-8x+12=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$4x^{2}-8x+12-12=9-12$$

Ha kivonjuk a(z) 12 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-8x=9-12$$

12 kivonása a következőből: 9.

$$4x^{2}-8x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=-\frac{3}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=-\frac{3}{4}$$

-8 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{4}$$

Elosztjuk a(z) -2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -1. Ezután hozzáadjuk -1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{3}{4}+1$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{3}{4} és 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}$$

A(z) x^{2}-2x+1 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-1=\frac{1}{2} x-1=-\frac{1}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$