4x^2-7x-1=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}). ± előjele negatív. \sqrt{65} kivonása a következőből: 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

\frac{1}{4} és \frac{49}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{8}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$