4x^2-7x+3=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx+3 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-4 b=-3$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-7x+3) \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és -3 faktort.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±1}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 elosztása a következővel: 8.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±1}{8}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

A törtet (\frac{6}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

-\frac{3}{4} és \frac{49}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{8}.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$