4x^2-5x+1=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx+1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-4 b=-1$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-5x+1) \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±3}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 elosztása a következővel: 8.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±3}{8}). ± előjele negatív. 3 kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

A törtet (\frac{2}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

-\frac{1}{4} és \frac{25}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{8}.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$