4x^2-2x+9=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0,25+1,479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0,25-1,479019946i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -140.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

2+2i\sqrt{35} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{35} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

2-2i\sqrt{35} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

A törtet (\frac{-2}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

-\frac{9}{4} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$