4x^2-14x-8=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 14 x - 8 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$2x^{2}-7x-4=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -8.

$$1,-8 2,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-8 b=1$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-7x-4) \left(2x^{2}-8x\right)+\left(x-4\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(x-4\right)$$

Emelje ki a(z) 2x elemet a(z) 2x^{2}-8x kifejezésből.

$$2x\left(x-4\right)+x-4$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-4=0 és a 2x+1=0.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-14x-8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+128}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 128.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 324.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±18}{2\times 4}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±18}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{14±18}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±18}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 18.

$$x=\frac{32}{8}$$

32 elosztása a következővel: 8.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±18}{8}). ± előjele negatív. 18 kivonása a következőből: 14.

$$x=-\frac{4}{8}$$

A törtet (\frac{-4}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-14x-8=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 8.

$$4x^{2}-14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-14x=-\left(-8\right)$$

-8 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}-14x=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{8}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{8}{4}$$

A törtet (\frac{-14}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{8}{4}$$

8 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=2$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 2 és \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{4}.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$