4x^2-14x=9 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-14x=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

14+2\sqrt{85} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}). ± előjele negatív. 2\sqrt{85} kivonása a következőből: 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

14-2\sqrt{85} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-14x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

A törtet (\frac{-14}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

\frac{9}{4} és \frac{49}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$