4x^2-14x+13=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1,75+0,433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1,75-0,433012702i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) 13 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 13.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és -208.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -12.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

14+2i\sqrt{3} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{3} kivonása a következőből: 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

14-2i\sqrt{3} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 13.

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

Ha kivonjuk a(z) 13 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-14x=-13$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

A törtet (\frac{-14}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

-\frac{13}{4} és \frac{49}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{4}.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$