4x^2-12x-27=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx-27 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -12.

$$a=-18 b=6$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-12x-27) \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-9 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-9=0 és a 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -12 értéket b-be és a(z) -27 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 ellentettje 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±24}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 12 és 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

A törtet (\frac{36}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{9}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±24}{8}). ± előjele negatív. 24 kivonása a következőből: 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

A törtet (\frac{-12}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 27.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -27 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

-27 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

-12 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Elosztjuk a(z) -3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

\frac{27}{4} és \frac{9}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Tényezőkre x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$