4x^2-11x+30=16 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Ha kivonjuk a(z) 16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

16 kivonása a következőből: 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -11 értéket b-be és a(z) 14 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11 ellentettje 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 11 és i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}). ± előjele negatív. i\sqrt{103} kivonása a következőből: 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 30.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Ha kivonjuk a(z) 30 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

30 kivonása a következőből: 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

A törtet (\frac{-14}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

-\frac{7}{2} és \frac{121}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

A(z) x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{8}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$