4x^2-10x+8=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 10 x + 8 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}\approx 1,25+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}\approx 1,25-0,661437828i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-10x+8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) 8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 8}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-128}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -128.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-28}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -28.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

-10 ellentettje 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{10±2\sqrt{7}i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±2\sqrt{7}i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{7}i}{8}$$

10+2i\sqrt{7} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±2\sqrt{7}i}{8}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{7} kivonása a következőből: 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i+10}{8}$$

10-2i\sqrt{7} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-10x+8=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$4x^{2}-10x+8-8=-8$$

Ha kivonjuk a(z) 8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-10x=-8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{8}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{8}{4}$$

A törtet (\frac{-10}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{8}{4}$$

-8 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-2$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-2+\frac{25}{16}$$

Összeadjuk a következőket: -2 és \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{7}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{4}.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$