4x^2+8x-45<0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 8 értéket b-be és a(z) -45 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±28}{8}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{5}{2} és x+\frac{9}{2}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{5}{2} eredménye pozitív, x+\frac{9}{2} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x+\frac{9}{2} eredménye pozitív, x-\frac{5}{2} eredménye pedig negatív.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$