4x^2+6x+1=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

-6+2\sqrt{5} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}). ± előjele negatív. 2\sqrt{5} kivonása a következőből: -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

-6-2\sqrt{5} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

A törtet (\frac{6}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

-\frac{1}{4} és \frac{9}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

A(z) x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$