4x^2+48x-81=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx-81 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 48.

$$a=-6 b=54$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}+48x-81) \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 27 faktort.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-3=0 és a 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 48 értéket b-be és a(z) -81 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 2304 és 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-48±60}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -48 és 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

A törtet (\frac{12}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-48±60}{8}). ± előjele negatív. 60 kivonása a következőből: -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

A törtet (\frac{-108}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 81.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -81 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

-81 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

48 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Elosztjuk a(z) 12 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 6. Ezután hozzáadjuk 6 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Összeadjuk a következőket: \frac{81}{4} és 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+12x+36. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$