4x^2+4x+9=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

-4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} elosztása a következővel: 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}). ± előjele negatív. 8i\sqrt{2} kivonása a következőből: -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

-4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} elosztása a következővel: 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

4 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

-\frac{9}{4} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

A(z) x^{2}+x+\frac{1}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$