4x^2+4x+1=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx+1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 4.

$$1,4 2,2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+4=5 2+2=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 4.

$$a=2 b=2$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}+4x+1) \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right) alakban.

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Emelje ki a(z) 2x elemet a(z) 4x^{2}+2x kifejezésből.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

A törtet (\frac{-4}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

4 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

-\frac{1}{4} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Tényezőkre x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=-\frac{1}{2}$$