4x^2+28x+40=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-5$$

$$x=-2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+10 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 10.

$$1,10 2,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+10=11 2+5=7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 7.

$$a=2 b=5$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+7x+10) \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right) alakban.

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x+2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x+2=0 és a x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 28 értéket b-be és a(z) 40 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 784 és -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-28±12}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -28 és 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

-16 elosztása a következővel: 8.

$$x=-2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-28±12}{8}). ± előjele negatív. 12 kivonása a következőből: -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

-40 elosztása a következővel: 8.

$$x=-5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-2 x=-5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 40.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Ha kivonjuk a(z) 40 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

28 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

-40 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Elosztjuk a(z) 7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -10 és \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{2}.

$$x=-2 x=-5$$