4x^2+14x-27=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) -27 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -14 és 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

-14+2\sqrt{157} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}). ± előjele negatív. 2\sqrt{157} kivonása a következőből: -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

-14-2\sqrt{157} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 27.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -27 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

-27 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

A törtet (\frac{14}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

\frac{27}{4} és \frac{49}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$