4x+2y=0quadtext{D)}6x-2y=0 megoldása

$$4 x + 2 y = 0 \quad \text { D) } 6 x - 2 y = 0$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=0$$

$$y=0$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x+2y=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2y.

$$4x=-2y$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)y$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és -2y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{y}{2} értéket x helyére a másik, 6x-2y=0 egyenletben.

$$6\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=0$$

Összeszorozzuk a következőket: 6 és -\frac{y}{2}.

$$-3y-2y=0$$

Összeadjuk a következőket: -3y és -2y.

$$-5y=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$y=0$$

A(z) x=-\frac{1}{2}y egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 0. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=0$$

A rendszer megoldva.

$$x=0,y=0$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{4}{4\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=0,y=0$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

4x és 6x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 6, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$6\times 4x+6\times 2y=0,4\times 6x+4\left(-2\right)y=0$$

Egyszerűsítünk.

$$24x+12y=0,24x-8y=0$$

24x-8y=0 kivonása a következőből: 24x+12y=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$24x-24x+12y+8y=0$$

Összeadjuk a következőket: 24x és -24x. 24x és -24x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$12y+8y=0$$

Összeadjuk a következőket: 12y és 8y.

$$20y=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 20.

$$y=0$$

A(z) 6x-2y=0 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 0. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$6x=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$x=0$$

A rendszer megoldva.

$$x=0,y=0$$