4p^2-3p-10=0 megoldása

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Megoldás a(z) p változóra

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4p^{2}+ap+bp-10 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-8 b=5$$

Átírjuk az értéket (4p^{2}-3p-10) \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right) alakban.

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

A 4p a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) p-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a p-2=0 és a 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

-3 ellentettje 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (p=\frac{3±13}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

16 elosztása a következővel: 8.

$$p=2$$

Megoldjuk az egyenletet (p=\frac{3±13}{8}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

A törtet (\frac{-10}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 10.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

-10 kivonása a következőből: 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

A törtet (\frac{10}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

\frac{5}{2} és \frac{9}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Tényezőkre p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{8}.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$