4p^2-25p+21=-4 megoldása

$$4 p ^ { 2 } - 25 p + 21 = - 4$$

Megoldás a(z) p változóra

$$p = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

$$p=5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4.

$$4p^{2}-25p+21+4=0$$

Összeadjuk a következőket: 21 és 4. Az eredmény 25.

$$4p^{2}-25p+25=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4p^{2}+ap+bp+25 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-25 ab=4\times 25=100$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -25.

$$a=-20 b=-5$$

Átírjuk az értéket (4p^{2}-25p+25) \left(4p^{2}-20p\right)+\left(-5p+25\right) alakban.

$$\left(4p^{2}-20p\right)+\left(-5p+25\right)$$

A 4p a második csoportban lévő első és -5 faktort.

$$4p\left(p-5\right)-5\left(p-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) p-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(p-5\right)\left(4p-5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a p-5=0 és a 4p-5=0.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4p^{2}-25p+21=-4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$4p^{2}-25p+21-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4p^{2}-25p+21-\left(-4\right)=0$$

-4 kivonása a következőből: 21.

$$4p^{2}-25p+25=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -25 értéket b-be és a(z) 25 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -25.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-16\times 25}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 25.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-400}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 625 és -400.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 225.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±15}{2\times 4}$$

-25 ellentettje 25.

$$p=\frac{25±15}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$p=\frac{25±15}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (p=\frac{25±15}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 25 és 15.

$$p=\frac{40}{8}$$

40 elosztása a következővel: 8.

$$p=5$$

Megoldjuk az egyenletet (p=\frac{25±15}{8}). ± előjele negatív. 15 kivonása a következőből: 25.

$$p=\frac{10}{8}$$

A törtet (\frac{10}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$p=\frac{5}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4p^{2}-25p+21=-4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 21.

$$4p^{2}-25p+21-21=-4-21$$

Ha kivonjuk a(z) 21 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4p^{2}-25p=-4-21$$

21 kivonása a következőből: -4.

$$4p^{2}-25p=-25$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4p^{2}-25p}{4}=-\frac{25}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p=-\frac{25}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{25}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{25}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{25}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{25}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}=-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}$$

-\frac{25}{4} és \frac{625}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}=\frac{225}{64}$$

Tényezőkre p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(p-\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(p-\frac{25}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$p-\frac{25}{8}=\frac{15}{8} p-\frac{25}{8}=-\frac{15}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{25}{8}.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$