4n^2-7n=11 megoldása

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 11.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4n^{2}+an+bn-11 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-11 b=4$$

Átírjuk az értéket (4n^{2}-7n-11) \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) alakban.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Emelje ki a(z) n elemet a(z) 4n^{2}-11n kifejezésből.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4n-11 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 4n-11=0 és a n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4n^{2}-7n=11$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 11.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Ha kivonjuk a(z) 11 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -11 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 ellentettje 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{7±15}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

A törtet (\frac{22}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$n=\frac{11}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{7±15}{8}). ± előjele negatív. 15 kivonása a következőből: 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 elosztása a következővel: 8.

$$n=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4n^{2}-7n=11$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

\frac{11}{4} és \frac{49}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Tényezőkre n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{8}.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$