4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2 megoldása

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (4x^{2}+4 és 2x^{2}+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x^{2}-1\right)^{2}).

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{4}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Összevonjuk a következőket: 8x^{4} és -5x^{4}. Az eredmény 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10x^{2}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Összevonjuk a következőket: 12x^{2} és 10x^{2}. Az eredmény 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

t behelyettesítése x^{2} helyére.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 22 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Mivel x=t^{2}, a megoldások megtalálásához x=±\sqrt{t} értékét minden egyes t értékre vonatkozóan kiértékelve kapjuk meg.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (4x^{2}+4 és 2x^{2}+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x^{2}-1\right)^{2}).

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{4}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Összevonjuk a következőket: 8x^{4} és -5x^{4}. Az eredmény 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10x^{2}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Összevonjuk a következőket: 12x^{2} és 10x^{2}. Az eredmény 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

t behelyettesítése x^{2} helyére.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 22 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

x=t^{2} mivel a megoldások az x=±\sqrt{t} pozitív t kiértékelését használják.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$