4(x+1)^2-169=0 megoldása

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Kivonjuk a(z) 169 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx-165 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 8.

$$a=-22 b=30$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}+8x-165) \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 15 faktort.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-11 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-11=0 és a 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Kivonjuk a(z) 169 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 8 értéket b-be és a(z) -165 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±52}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -8 és 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

A törtet (\frac{44}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{11}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±52}{8}). ± előjele negatív. 52 kivonása a következőből: -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

A törtet (\frac{-60}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Kivonjuk a(z) 169 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 165. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$4x^{2}+8x=165$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

8 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Összeadjuk a következőket: \frac{165}{4} és 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$