4z^2+60z=600 megoldása

$$4 { z }^{ 2 } +60z = 600$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z = \frac{5 \sqrt{33} - 15}{2} \approx 6,861406616$$

$$z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}\approx -21,861406616$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4z^{2}+60z=600$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 600.

$$4z^{2}+60z-600=600-600$$

Ha kivonjuk a(z) 600 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4z^{2}+60z-600=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 60 értéket b-be és a(z) -600 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 60.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -600.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+9600}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 3600 és 9600.

$$z=\frac{-60±\sqrt{13200}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 13200.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -60 és 20\sqrt{33}.

$$z=\frac{20\sqrt{33}-60}{8}$$

-60+20\sqrt{33} elosztása a következővel: 8.

$$z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8}). ± előjele negatív. 20\sqrt{33} kivonása a következőből: -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{33}-60}{8}$$

-60-20\sqrt{33} elosztása a következővel: 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4z^{2}+60z=600$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{600}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{600}{4}$$

60 elosztása a következővel: 4.

$$z^{2}+15z=\frac{600}{4}$$

600 elosztása a következővel: 4.

$$z^{2}+15z=150$$

Elosztjuk a(z) 15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=150+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=150+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 150 és \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{825}{4}$$

A(z) z^{2}+15z+\frac{225}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{825}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{825}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{33}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{33}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{15}{2}.

$$z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$