4z^2+160z=600 megoldása

$$4 { z }^{ 2 } +160z = 600$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=5\sqrt{22}-20\approx 3,452078799$$

$$z=-5\sqrt{22}-20\approx -43,452078799$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4z^{2}+160z=600$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 600.

$$4z^{2}+160z-600=600-600$$

Ha kivonjuk a(z) 600 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4z^{2}+160z-600=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 160 értéket b-be és a(z) -600 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 160.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600-16\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -600.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600+9600}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 25600 és 9600.

$$z=\frac{-160±\sqrt{35200}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 35200.

$$z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -160 és 40\sqrt{22}.

$$z=\frac{40\sqrt{22}-160}{8}$$

-160+40\sqrt{22} elosztása a következővel: 8.

$$z=5\sqrt{22}-20$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8}). ± előjele negatív. 40\sqrt{22} kivonása a következőből: -160.

$$z=\frac{-40\sqrt{22}-160}{8}$$

-160-40\sqrt{22} elosztása a következővel: 8.

$$z=-5\sqrt{22}-20$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=5\sqrt{22}-20 z=-5\sqrt{22}-20$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4z^{2}+160z=600$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4z^{2}+160z}{4}=\frac{600}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$z^{2}+\frac{160}{4}z=\frac{600}{4}$$

160 elosztása a következővel: 4.

$$z^{2}+40z=\frac{600}{4}$$

600 elosztása a következővel: 4.

$$z^{2}+40z=150$$

Elosztjuk a(z) 40 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 20. Ezután hozzáadjuk 20 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+40z+20^{2}=150+20^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$z^{2}+40z+400=150+400$$

Összeadjuk a következőket: 150 és 400.

$$z^{2}+40z+400=550$$

A(z) z^{2}+40z+400 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(z+20\right)^{2}=550$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+20\right)^{2}}=\sqrt{550}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+20=5\sqrt{22} z+20=-5\sqrt{22}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20.

$$z=5\sqrt{22}-20 z=-5\sqrt{22}-20$$