4x^2-4x-16=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

4+4\sqrt{17} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}). ± előjele negatív. 4\sqrt{17} kivonása a következőből: 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

4-4\sqrt{17} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 16.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

-16 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

-4 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

16 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-x=4$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$