4x^2-4x-15=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -4.

$$a=-10 b=6$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-4x-15) \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-5=0 és a 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±16}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

A törtet (\frac{20}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±16}{8}). ± előjele negatív. 16 kivonása a következőből: 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

A törtet (\frac{-12}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

-4 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

\frac{15}{4} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Tényezőkre x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$