4x^2-3x+10=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } -3x+10=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8}\approx 0,375+1,536025716i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}\approx 0,375-1,536025716i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-3x+10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\times 10}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-160}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -160.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-151}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -151.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{151}i}{2\times 4}$$

-3 ellentettje 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{151}i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és i\sqrt{151}.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8}). ± előjele negatív. i\sqrt{151} kivonása a következőből: 3.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8} x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-3x+10=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$4x^{2}-3x+10-10=-10$$

Ha kivonjuk a(z) 10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-3x=-10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=-\frac{10}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{10}{4}$$

A törtet (\frac{-10}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

-\frac{5}{2} és \frac{9}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{151}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{151}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{151}i}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{151}i}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{8}.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8} x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$