4x^2-24x+37=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } -24x+37=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=3+\frac{1}{2}i=3+0,5i$$

$$x=3-\frac{1}{2}i=3-0,5i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-24x+37=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -24 értéket b-be és a(z) 37 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 37}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 37}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 37}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 37.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-592}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 576 és -592.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-16}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±4i}{2\times 4}$$

-24 ellentettje 24.

$$x=\frac{24±4i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{24±4i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±4i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 24 és 4i.

$$x=\frac{24+4i}{8}$$

24+4i elosztása a következővel: 8.

$$x=3+\frac{1}{2}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±4i}{8}). ± előjele negatív. 4i kivonása a következőből: 24.

$$x=\frac{24-4i}{8}$$

24-4i elosztása a következővel: 8.

$$x=3-\frac{1}{2}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3+\frac{1}{2}i x=3-\frac{1}{2}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-24x+37=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 37.

$$4x^{2}-24x+37-37=-37$$

Ha kivonjuk a(z) 37 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-24x=-37$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-24x}{4}=-\frac{37}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{4}\right)x=-\frac{37}{4}$$

-24 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-6x=-\frac{37}{4}$$

Elosztjuk a(z) -6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -3. Ezután hozzáadjuk -3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-\frac{37}{4}+\left(-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x^{2}-6x+9=-\frac{37}{4}+9$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{37}{4} és 9.

$$x^{2}-6x+9=-\frac{1}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-6x+9. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-3\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-3=\frac{1}{2}i x-3=-\frac{1}{2}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$x=3+\frac{1}{2}i x=3-\frac{1}{2}i$$