4x^2+7x-6=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } +7x-6=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{145}-7}{8}\approx 0.630199322$$

$$x=\frac{-\sqrt{145}-7}{8}\approx -2.380199322$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+7x-6=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) -6 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+96}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 96.

$$x=\frac{-7±\sqrt{145}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{145}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±\sqrt{145}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}-7}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±\sqrt{145}}{8}). ± előjele negatív. \sqrt{145} kivonása a következőből: -7.

$$x=\frac{-\sqrt{145}-7}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{145}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{145}-7}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+7x-6=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$4x^{2}+7x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -6 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+7x=-\left(-6\right)$$

-6 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}+7x=6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{6}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{6}{4}$$

A törtet (\frac{6}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{3}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{3}{2}+\frac{49}{64}$$

\frac{3}{2} és \frac{49}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{145}{64}$$

A(z) x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{145}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{145}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{145}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{145}}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{8}.

$$x=\frac{\sqrt{145}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{145}-7}{8}$$