4x^2+4x=120 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-6$$

$$x=5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 120.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-30 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 1.

$$a=-5 b=6$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+x-30) \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right) alakban.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 6 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-5=0 és x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+4x=120$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 120.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Ha kivonjuk a(z) 120 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -120 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±44}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

40 elosztása a következővel: 8.

$$x=5$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±44}{8}). ± előjele negatív. 44 kivonása a következőből: -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48 elosztása a következővel: 8.

$$x=-6$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=5 x=-6$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+4x=120$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

4 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

120 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+x=30$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 30 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

A(z) x^{2}+x+\frac{1}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=5 x=-6$$