4x^2+4x=1 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+4x=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

-4+4\sqrt{2} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}). ± előjele negatív. 4\sqrt{2} kivonása a következőből: -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

-4-4\sqrt{2} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+4x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

4 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

\frac{1}{4} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Tényezőkre x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$