4x^2+20x+25=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } +20x+25 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx+25 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=20 ab=4\times 25=100$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 20.

$$a=10 b=10$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}+20x+25) \left(4x^{2}+10x\right)+\left(10x+25\right) alakban.

$$\left(4x^{2}+10x\right)+\left(10x+25\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$2x\left(2x+5\right)+5\left(2x+5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x+5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x+5\right)\left(2x+5\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(2x+5\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 2x+5=0.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+20x+25=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) 25 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\times 25}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 25.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-400}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{20}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=-\frac{20}{8}$$

A törtet (\frac{-20}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+20x+25=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 25.

$$4x^{2}+20x+25-25=-25$$

Ha kivonjuk a(z) 25 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+20x=-25$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=-\frac{25}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=-\frac{25}{4}$$

20 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+5x=-\frac{25}{4}$$

Elosztjuk a(z) 5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{-25+25}{4}$$

-\frac{25}{4} és \frac{25}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=0$$

Tényezőkre x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{2}=0 x+\frac{5}{2}=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=-\frac{5}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=-\frac{5}{2}$$