4x^2+13x+5=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } +13x+5=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}\approx -0,445752358$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}\approx -2,804247642$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+13x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 13 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-16\times 5}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 5.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-80}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 169 és -80.

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -13 és \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8}). ± előjele negatív. \sqrt{89} kivonása a következőből: -13.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+13x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$4x^{2}+13x+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+13x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+13x}{4}=-\frac{5}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Elosztjuk a(z) \frac{13}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{13}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{13}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{13}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{64}$$

-\frac{5}{4} és \frac{169}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{89}{64}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{89}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{\sqrt{89}}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{\sqrt{89}}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{13}{8}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$