4t^2+3t=1 megoldása

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4t^{2}+at+bt-1 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -4.

$$-1,4 -2,2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=-1 b=4$$

Átírjuk az értéket (4t^{2}+3t-1) \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right) alakban.

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Emelje ki a(z) t elemet a(z) 4t^{2}-t kifejezésből.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4t-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 4t-1=0 és t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4t^{2}+3t=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-3±5}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

A törtet (\frac{2}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$t=\frac{1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-3±5}{8}). ± előjele negatív. 5 kivonása a következőből: -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

-8 elosztása a következővel: 8.

$$t=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4t^{2}+3t=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

\frac{1}{4} és \frac{9}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

A(z) t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{8}.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$