4left(2x-13right)^2-9(2x-13)+2=0 megoldása

$$4 { \left(2x-13 \right) }^{ 2 } -9(2x-13)+2=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{53}{8} = 6\frac{5}{8} = 6,625$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-13\right)^{2}).

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és 4x^{2}-52x+169.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -9 és 2x-13.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Összevonjuk a következőket: -208x és -18x. Az eredmény -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Összeadjuk a következőket: 676 és 117. Az eredmény 793.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Összeadjuk a következőket: 793 és 2. Az eredmény 795.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) -226 értéket b-be és a(z) 795 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{\left(-226\right)^{2}-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -226.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-64\times 795}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -64 és 795.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-50880}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 51076 és -50880.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{196}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 196.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±14}{2\times 16}$$

-226 ellentettje 226.

$$x=\frac{226±14}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$x=\frac{226±14}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{226±14}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 226 és 14.

$$x=\frac{240}{32}$$

A törtet (\frac{240}{32}) leegyszerűsítjük 16 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{15}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{226±14}{32}). ± előjele negatív. 14 kivonása a következőből: 226.

$$x=\frac{212}{32}$$

A törtet (\frac{212}{32}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{53}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-13\right)^{2}).

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és 4x^{2}-52x+169.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -9 és 2x-13.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Összevonjuk a következőket: -208x és -18x. Az eredmény -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Összeadjuk a következőket: 676 és 117. Az eredmény 793.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Összeadjuk a következőket: 793 és 2. Az eredmény 795.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 795. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$16x^{2}-226x=-795$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16x^{2}-226x}{16}=-\frac{795}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{226}{16}\right)x=-\frac{795}{16}$$

A törtet (\frac{-226}{16}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x=-\frac{795}{16}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{113}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{113}{16}. Ezután hozzáadjuk -\frac{113}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}=-\frac{795}{16}+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{113}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=-\frac{795}{16}+\frac{12769}{256}$$

-\frac{795}{16} és \frac{12769}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=\frac{49}{256}$$

A(z) x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{113}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{113}{16}=-\frac{7}{16}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{113}{16}.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$