3x-5x^2=3 megoldása

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0,3-0,714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0,3+0,714142843i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

-3+i\sqrt{51} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}). ± előjele negatív. i\sqrt{51} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

-3-i\sqrt{51} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

3 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

3 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

-\frac{3}{5} és \frac{9}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

A(z) x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{10}.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$