32x^2+250x-1925=0 megoldása

$$32 { x }^{ 2 } +250x-1925=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5 \sqrt{3089} - 125}{32} \approx 4,77793327$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}\approx -12,59043327$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 32 értéket a-ba, a(z) 250 értéket b-be és a(z) -1925 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 32.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-128\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Összeszorozzuk a következőket: -128 és -1925.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+246400}}{2\times 32}$$

Összeadjuk a következőket: 62500 és 246400.

$$x=\frac{-250±\sqrt{308900}}{2\times 32}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 308900.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{2\times 32}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 32.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -250 és 10\sqrt{3089}.

$$x=\frac{10\sqrt{3089}-250}{64}$$

-250+10\sqrt{3089} elosztása a következővel: 64.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}). ± előjele negatív. 10\sqrt{3089} kivonása a következőből: -250.

$$x=\frac{-10\sqrt{3089}-250}{64}$$

-250-10\sqrt{3089} elosztása a következővel: 64.

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1925.

$$32x^{2}+250x-1925-\left(-1925\right)=-\left(-1925\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1925 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$32x^{2}+250x=-\left(-1925\right)$$

-1925 kivonása a következőből: 0.

$$32x^{2}+250x=1925$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 32.

$$\frac{32x^{2}+250x}{32}=\frac{1925}{32}$$

A(z) 32 értékkel való osztás eltünteti a(z) 32 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{250}{32}x=\frac{1925}{32}$$

A törtet (\frac{250}{32}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x=\frac{1925}{32}$$

Elosztjuk a(z) \frac{125}{16} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{125}{32}. Ezután hozzáadjuk \frac{125}{32} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{1925}{32}+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}$$

A(z) \frac{125}{32} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{1925}{32}+\frac{15625}{1024}$$

\frac{1925}{32} és \frac{15625}{1024} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{77225}{1024}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{77225}{1024}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77225}{1024}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{125}{32}=\frac{5\sqrt{3089}}{32} x+\frac{125}{32}=-\frac{5\sqrt{3089}}{32}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{125}{32}.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$