3010=(20-x)(300+20x) megoldása

$$3010 = ( 20 - x ) ( 300 + 20 x )$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{623} + 5}{2} \approx 14,979983974$$

$$x=\frac{5-\sqrt{623}}{2}\approx -9,979983974$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (20-x és 300+20x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3010=6000+100x-20x^{2}$$

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$6000+100x-20x^{2}=3010$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3010.

$$6000+100x-20x^{2}-3010=0$$

Kivonjuk a(z) 3010 értékből a(z) 6000 értéket. Az eredmény 2990.

$$2990+100x-20x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-20x^{2}+100x+2990=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -20 értéket a-ba, a(z) 100 értéket b-be és a(z) 2990 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-20\right)\times 2990}}{2\left(-20\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-20\right)\times 2990}}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -20.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+80\times 2990}}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 80 és 2990.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+239200}}{2\left(-20\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 10000 és 239200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{249200}}{2\left(-20\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 249200.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{623}}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -20.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{623}}{-40}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-100±20\sqrt{623}}{-40}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -100 és 20\sqrt{623}.

$$x=\frac{20\sqrt{623}-100}{-40}$$

-100+20\sqrt{623} elosztása a következővel: -40.

$$x=\frac{5-\sqrt{623}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-100±20\sqrt{623}}{-40}). ± előjele negatív. 20\sqrt{623} kivonása a következőből: -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{623}-100}{-40}$$

-100-20\sqrt{623} elosztása a következővel: -40.

$$x=\frac{\sqrt{623}+5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5-\sqrt{623}}{2} x=\frac{\sqrt{623}+5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (20-x és 300+20x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3010=6000+100x-20x^{2}$$

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$6000+100x-20x^{2}=3010$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6000.

$$100x-20x^{2}=3010-6000$$

Kivonjuk a(z) 6000 értékből a(z) 3010 értéket. Az eredmény -2990.

$$100x-20x^{2}=-2990$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-20x^{2}+100x=-2990$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -20.

$$\frac{-20x^{2}+100x}{-20}=-\frac{2990}{-20}$$

A(z) -20 értékkel való osztás eltünteti a(z) -20 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{100}{-20}x=-\frac{2990}{-20}$$

100 elosztása a következővel: -20.

$$x^{2}-5x=-\frac{2990}{-20}$$

A törtet (\frac{-2990}{-20}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-5x=\frac{299}{2}$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{299}{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{299}{2}+\frac{25}{4}$$

\frac{299}{2} és \frac{25}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{623}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{623}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{623}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{623}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{623}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{623}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{623}}{2}$$