30000=-5x^2+1000x-5000 megoldása

$$30000 = - 5 x ^ { 2 } + 1000 x - 5000$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=10\sqrt{30}+100\approx 154.772255751$$

$$x=100-10\sqrt{30}\approx 45.227744249$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$-5x^{2}+1000x-5000=30000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30000.

$$-5x^{2}+1000x-5000-30000=0$$

Kivonjuk a(z) 30000 értékből a(z) -5000 értéket. Az eredmény -35000.

$$-5x^{2}+1000x-35000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) 1000 értéket b-be és a(z) -35000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000^{2}-4\left(-5\right)\left(-35000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000-4\left(-5\right)\left(-35000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000+20\left(-35000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és -35000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000-700000}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 1000000 és -700000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{300000}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 300000.

$$x=\frac{-1000±100\sqrt{30}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{-1000±100\sqrt{30}}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1000±100\sqrt{30}}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1000 és 100\sqrt{30}.

$$x=\frac{100\sqrt{30}-1000}{-10}$$

-1000+100\sqrt{30} elosztása a következővel: -10.

$$x=100-10\sqrt{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1000±100\sqrt{30}}{-10}). ± előjele negatív. 100\sqrt{30} kivonása a következőből: -1000.

$$x=\frac{-100\sqrt{30}-1000}{-10}$$

-1000-100\sqrt{30} elosztása a következővel: -10.

$$x=10\sqrt{30}+100$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=100-10\sqrt{30} x=10\sqrt{30}+100$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$-5x^{2}+1000x-5000=30000$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 5000.

$$-5x^{2}+1000x=30000+5000$$

Összeadjuk a következőket: 30000 és 5000. Az eredmény 35000.

$$-5x^{2}+1000x=35000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}+1000x}{-5}=\frac{35000}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1000}{-5}x=\frac{35000}{-5}$$

1000 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-200x=\frac{35000}{-5}$$

35000 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}-200x=-7000$$

Elosztjuk a(z) -200 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -100. Ezután hozzáadjuk -100 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-200x+\left(-100\right)^{2}=-7000+\left(-100\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -100.

$$x^{2}-200x+10000=-7000+10000$$

Összeadjuk a következőket: -7000 és 10000.

$$x^{2}-200x+10000=3000$$

A(z) x^{2}-200x+10000 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-100\right)^{2}=3000$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-100\right)^{2}}=\sqrt{3000}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-100=10\sqrt{30} x-100=-10\sqrt{30}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 100.

$$x=10\sqrt{30}+100 x=100-10\sqrt{30}$$