3000=(125+x)(45-x) megoldása

$$3000=(125+x)(45-x)$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-105$$

$$x=25$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (125+x és 45-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3000=5625-80x-x^{2}$$

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$5625-80x-x^{2}=3000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3000.

$$5625-80x-x^{2}-3000=0$$

Kivonjuk a(z) 3000 értékből a(z) 5625 értéket. Az eredmény 2625.

$$2625-80x-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}-80x+2625=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) -80 értéket b-be és a(z) 2625 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2625}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\left(-1\right)\times 2625}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+4\times 2625}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 2625.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+10500}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 6400 és 10500.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{16900}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 16900.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±130}{2\left(-1\right)}$$

-80 ellentettje 80.

$$x=\frac{80±130}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{80±130}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{80±130}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 80 és 130.

$$x=\frac{210}{-2}$$

210 elosztása a következővel: -2.

$$x=-105$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{80±130}{-2}). ± előjele negatív. 130 kivonása a következőből: 80.

$$x=-\frac{50}{-2}$$

-50 elosztása a következővel: -2.

$$x=25$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-105 x=25$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (125+x és 45-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3000=5625-80x-x^{2}$$

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$5625-80x-x^{2}=3000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5625.

$$-80x-x^{2}=3000-5625$$

Kivonjuk a(z) 5625 értékből a(z) 3000 értéket. Az eredmény -2625.

$$-80x-x^{2}=-2625$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}-80x=-2625$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}-80x}{-1}=-\frac{2625}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{-1}\right)x=-\frac{2625}{-1}$$

-80 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+80x=-\frac{2625}{-1}$$

-2625 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+80x=2625$$

Elosztjuk a(z) 80 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 40. Ezután hozzáadjuk 40 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+80x+40^{2}=2625+40^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 40.

$$x^{2}+80x+1600=2625+1600$$

Összeadjuk a következőket: 2625 és 1600.

$$x^{2}+80x+1600=4225$$

Tényezőkre x^{2}+80x+1600. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+40\right)^{2}=4225$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+40\right)^{2}}=\sqrt{4225}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+40=65 x+40=-65$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 40.

$$x=25 x=-105$$