30t=225(t+10)^2 megoldása

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(t+10\right)^{2}).

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 225 és t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 225t^{2}.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4500t.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Összevonjuk a következőket: 30t és -4500t. Az eredmény -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 22500.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -225 értéket a-ba, a(z) -4470 értéket b-be és a(z) -22500 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4470.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 900 és -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 19980900 és -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

-4470 ellentettje 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4470 és 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

4470+30i\sqrt{299} elosztása a következővel: -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}). ± előjele negatív. 30i\sqrt{299} kivonása a következőből: 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

4470-30i\sqrt{299} elosztása a következővel: -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(t+10\right)^{2}).

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 225 és t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 225t^{2}.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4500t.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Összevonjuk a következőket: 30t és -4500t. Az eredmény -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

A(z) -225 értékkel való osztás eltünteti a(z) -225 értékkel való szorzást.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

A törtet (\frac{-4470}{-225}) leegyszerűsítjük 15 kivonásával és kiejtésével.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

22500 elosztása a következővel: -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Elosztjuk a(z) \frac{298}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{149}{15}. Ezután hozzáadjuk \frac{149}{15} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

A(z) \frac{149}{15} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Összeadjuk a következőket: -100 és \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Tényezőkre t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{149}{15}.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$