30b^2-28b-16=0 megoldása

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Megoldás a(z) b változóra

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 15b^{2}+ab+bb-8 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -14.

$$a=-20 b=6$$

Átírjuk az értéket (15b^{2}-14b-8) \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right) alakban.

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

A 5b a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3b-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3b-4=0 és a 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 30 értéket a-ba, a(z) -28 értéket b-be és a(z) -16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -28.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Összeszorozzuk a következőket: -120 és -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Összeadjuk a következőket: 784 és 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

-28 ellentettje 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{28±52}{60}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 28 és 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

A törtet (\frac{80}{60}) leegyszerűsítjük 20 kivonásával és kiejtésével.

$$b=\frac{4}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{28±52}{60}). ± előjele negatív. 52 kivonása a következőből: 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

A törtet (\frac{-24}{60}) leegyszerűsítjük 12 kivonásával és kiejtésével.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 16.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

-16 kivonása a következőből: 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

A(z) 30 értékkel való osztás eltünteti a(z) 30 értékkel való szorzást.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

A törtet (\frac{-28}{30}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

A törtet (\frac{16}{30}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{14}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{15}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{15} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{15} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

\frac{8}{15} és \frac{49}{225} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Tényezőkre b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Egyszerűsítünk.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{15}.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$