3x-y=2;2x-y=3 megoldása

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$3x-y=2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: y.

$$3x=y+2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{2+y}{3} értéket x helyére a másik, 2x-y=3 egyenletben.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Összeadjuk a következőket: \frac{2y}{3} és -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{4}{3}.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: -3.

$$y=-5$$

A(z) x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -5. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

\frac{2}{3} és -\frac{5}{3} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-1$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1,y=-5$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-1,y=-5$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

2x-y=3 kivonása a következőből: 3x-y=2: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Összeadjuk a következőket: -y és y. -y és y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$3x-2x=2-3$$

Összeadjuk a következőket: 3x és -2x.

$$x=2-3$$

Összeadjuk a következőket: 2 és -3.

$$x=-1$$

A(z) 2x-y=3 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$-2-y=3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$-y=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$y=-5$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1,y=-5$$