3x-5y=4;9x-2y=7 megoldása

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$3x-5y=4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5y.

$$3x=5y+4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{5y+4}{3} értéket x helyére a másik, 9x-2y=7 egyenletben.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Összeszorozzuk a következőket: 9 és \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Összeadjuk a következőket: 15y és -2y.

$$13y+12=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$13y=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

A(z) x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{5}{13}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{5}{3} és -\frac{5}{13}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

\frac{4}{3} és -\frac{25}{39} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{9}{13}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

3x és 9x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 9, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Egyszerűsítünk.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

27x-6y=21 kivonása a következőből: 27x-45y=36: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Összeadjuk a következőket: 27x és -27x. 27x és -27x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-45y+6y=36-21$$

Összeadjuk a következőket: -45y és 6y.

$$-39y=36-21$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -21.

$$-39y=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

A(z) 9x-2y=7 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{5}{13}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{10}{13}.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$