3x-15=2x(x-5) megoldása

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x és x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10x.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Összevonjuk a következőket: 3x és 10x. Az eredmény 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -2x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 13.

$$a=10 b=3$$

Átírjuk az értéket (-2x^{2}+13x-15) \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right) alakban.

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és -3 faktort.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) -x+5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a -x+5=0 és a 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x és x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10x.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Összevonjuk a következőket: 3x és 10x. Az eredmény 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -2 értéket a-ba, a(z) 13 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 8 és -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 169 és -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-13±7}{-4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -13 és 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

A törtet (\frac{-6}{-4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-13±7}{-4}). ± előjele negatív. 7 kivonása a következőből: -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

-20 elosztása a következővel: -4.

$$x=5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x és x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10x.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Összevonjuk a következőket: 3x és 10x. Az eredmény 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 15. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$13x-2x^{2}=15$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

A(z) -2 értékkel való osztás eltünteti a(z) -2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

13 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

15 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{13}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{13}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{13}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{13}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

-\frac{15}{2} és \frac{169}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{13}{4}.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$